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Piccola digressione nel mondo dei segnali, sperando di essere il più chiari possibili e soprattutto di non commettere errori. Le fonti sono gli appunti di Teoria dei segnali e Elaborazione numerica dei segnali e relative dispense, che potete trovare in massima parte sul sito www.appuntiingtlc.com previa registrazione libera.

Tutto inizia da una fantastica definizione di trasformazione di Fourier ad opera del prof. Iacovitti, per poi passare alla trasformata di Fourier di un generico segnale periodico (in particolare un treno di impulsi) e arrivare infine a dimostrare la meraviglia del Teorema del campionamento.

Il concetto iniziale da cui partire è il prodotto scalare, e per farlo utilizziamo un ausilio grafico: ipotizziamo che il vettore A ed il vettore B siano due segnali, e chiamiamo l’angolo compreso . Per definizione il prodotto scalare è una funzione di :

(d’ora in poi per semplicità )

Intuitivamente, il vettore A sarà tanto più simile a B, quanto più, ruotando, si avvicinerà a B, fino a sovrapporsi. Contemporaneamente, la sua proiezione diventerà sempre più grande, e sarà massima quando .

Infatti:

Invece avremo una somiglianza minima (e quindi una proiezione ridotta ad un singolo punto) nel caso in cui i due vettori siano ortogonali, cioè formino un angolo di 90°:

Ora che abbiamo capito che in qualche modo il prodotto scalare “misura” la somiglianza di due oggetti -in particolare di due segnali- possiamo sfruttare il concetto per ricavare uno strumento di analisi molto potente.

Scriviamo:

cioè una funzione che al variare di fornisce il grado di somiglianza del segnale sotto analisi con uno specifico segnale opportunamente scelto.
Un esempio famoso è l’integrale di intercorrelazione.

Se però scegliamo come funzione di analisi il segnale armonico complesso, possiamo effettuare quella che viene chiamata “analisi armonica”: dal dominio del tempo siamo passati al dominio della frequenza attraverso la cosiddetta Trasformata di Fourier:

in cui abbiamo sostituito al parametro la pulsazione .

La Trasformata di Fourier è uno strumento molto importante nella teoria dei segnali perchè offre una descrizione alternativa del segnale in esame nel dominio della frequenza, cioè un grafico che misura (per quanto detto) la somiglianza del segnale con le varie componenti armoniche, ognuna funzione di una particolare frequenza.
Questo fatto è particolarmente evidente se si fa riferimento allo Sviluppo in serie di Fourier di un segnale:

questo sviluppo utilizza le funzioni armoniche seno e coseno multiple di una frequenza fondamentale , chiaramente ortogonali fra loro (non ci soffermeremo oltre su questo punto, per approfondimenti rimando qui).
Il generico coefficiente che pesa i singoli contributi (di nuovo, una misura della somiglianza) può essere calcolato come:

Vedremo nella seconda parte come queste ultime due formule si dimostreranno fondamentali per estendere il concetto di Trasformata di Fourier anche a segnali periodici indefiniti, per i quali non è possibile effettuare tale operazione se non in senso limite.

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