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La prima parte di questa trattazione ci aveva lasciato in eredità un concetto molto importante, e cioè che è possibile sostituire alla normale descrizione di un segnale nel dominio del tempo quella in frequenza, dopo un’opportuna trasformazione che va sotto il nome di Trasformata di Fourier.

A questo punto è importante fare chiarezza nella distinzione di tre entità: il segnale tempo-continuo, il segnale impulsato ed il segnale tempo-discreto (o sequenza).
In particolare scopriremo come il secondo sia un passo fondamentale per la rappresentazione dei segnali fisici in sequenze di bit che è possibile elaborare al computer.

Un segnale tempo-continuo è qualcosa che inconsapevolmente ci è molto familiare: un’onda sonora, per esempio, porta un segnale tempo-continuo con sè. Altresì siamo molto abituati a vedere rappresentazioni di tali segnali tramite dei grafici che ne indicano l’andamento nel tempo, come nell’immagine a lato.
L’aggettivo tempo-continuo sta proprio a sottolineare il fatto che non esistono interruzioni, nemmeno minime, per tutta la durata della riproduzione. E’ un segnale che continua nel tempo, appunto.
E’ un segnale analogico.

Opposti a questa categoria, esistono i segnali tempo-discreti.
Questi non sono altro che delle sequenze di numeri, presi ad intervalli di periodo noto T. Non sono dei segnali (o per lo meno è improprio chiamarli così), sono una successione di numeri. Questo è molto importante.
Eppure, tutta l’elaborazione dei segnali oggigiorno viene effettuata proprio nel tempo-discreto: gli elaboratori elettronici, incapaci di trattare suoni e immagini, si limitano a trattare insiemi di numeri. Com’è possibile allora passare da un segnale fisico ad una sequenza e poi di nuovo indietro al segnale di partenza?
In altre parole, come facciamo ad ascoltare gli mp3, la radio, a vedere la tv?

Il trucco sta in un passaggio intermedio, che assicura la possibilità di effettuare il salto nelle due direzioni. Il trucco sta nei segnali impulsati, e quindi nel Teorema del campionamento.
Un segnale impulsato non è nient’altro che il risultato di una moltiplicazione di un segnale tempo-continuo con un treno (o sequenza) di impulsi unitari, che “leggono” il segnale ad intervalli precisi di tempo. Il risultato, questa volta, è ancora un segnale.
Facendo riferimento all’immagine a sinistra (che in verità mostra un segnale campionato), la linea continua è il segnale analogico, mentre i pallini sono i punti in cui il treno di impulsi “ha letto” il segnale. E’ ovvio che più questi punti saranno vicini tra loro, più sarà semplice ricostruire il segnale originale: è come il gioco “unisci i puntini”, se mi concedete il paragone.

Ma andiamo più in profondità, utilizzando qualche formula.
Innanzitutto scriviamo il segnale impulsato come:

In particolare è proprio il treno di impulsi, mentre sono i valori del segnale originale “presi” con intervallo T.
E’ importante notare che il segnale sarà quindi anch’esso costituito da un treno di impulsi (ciascuno con il valore appropriato), e cioè da un segnale che si ripete nel tempo, periodico.

Effettuando la Trasformazione di Fourier su tale segnale, ricordando la trasformata nota di un impulso di Dirac, otteniamo banalmente:

E’ importante notare questa volta che i coefficienti sono gli stessi, sia in tempo (primo caso), sia in frequenza (secondo caso).

Detto ciò, facciamo un’altra considerazione.
Il treno di impulsi, in quanto -come detto- segnale periodico, ha una Trasformata  di Fourier anch’essa periodica della forma:

Ma allora, se riscriviamo l’equazione precedente, sfruttando la linearità della Trasformata di Fourier e la sua proprietà relativa alla moltiplicazione di due segnali nel tempo:

Intendendo con la croce il simbolo di convoluzione, cioè:

Per note proprietà, possiamo portare l’operazione di convoluzione all’interno della sommatoria. Questo e la proprietà del campionamento degli impulsi di Dirac, ci permettono di scrivere in definitiva:

Che è un risultato fondamentale: trattando un segnale tempo-continuo con un treno di impulsi (quindi con un segnale periodico), lo rendiamo in qualche modo periodico a sua volta, riducendolo ad un insieme di coefficienti che indicano l’area del segnale originale.

Inoltre, ed ancora più importante, in frequenza otterremo lo spettro del segnale originale, replicato all’infinito a destra e sinistra, periodicamente.
In figura, il segnale blu è lo spettro del segnale originale, mentre in verde vediamo le sue repliche.

Questa non è nient’altro che la prima parta del Teorema del campionamento. I passi successivi saranno l’enunciazione più precisa di detto Teorema e, infine, la naturale associazione dei coefficienti del segnale impulsato alla sequenza di numeri del segnale tempo-discreto.

Tags: Campionamento, Guide, Ingegneria, Trasformata di Fourier